Apollonius' sirkel

Apollonius’ sirkel

Apollonius’ sirkel er annen tilnærming til å definere en sirkel gitt et linjestykke AB.

Teori

Apollonius’ sirkel

Apollonius’ sirkel er det geometriske stedet der alle punktene P er slik at APB = v for en gitt vinkel v. Forskjellige verdier av v gir forskjellige sirkler. Linjestykke AB blir en korde i denne sirkelen, og vinkelen v blir en periferivinkel tilhørende sirkelbuen AB.

Trekanten AOB er likebeint, siden lengdene AO og BO er begge radius i sirkelen. Du vet derfor at BAO og ABO er like. Du kan nå konstruere disse i A og B, når v er gitt, ved hjelp av følgende formel:

ABO = BAO = 90 v.
(1)

Der vinkelbeina skjærer hverandre har du sentrum i en sirkel som går gjennom punktene A og B. Du kan nå bruke radien og sentrum til å konstruere sirkelen ved bruk av en passer.

Eksempel 1

Konstruer en trekant ABC der AB = 10cm, vinkel ACB = 45, avstanden fra C ned AB er 5cm og C ligger nærmere A enn B.

Tegn hjelpefigur:

Trekanten ABC

Du begynner først med å konstruere linjen AB = 10cm. Deretter konstruerer du normaler fra både A og B og setter av høyden lik 5 cm.

Konstruksjon av linjestykket AB

Du må nå finne en måte å konstruere C, og det er her Apollonius’ sirkel anvendes. Det eneste du vet er at C skal ligge på den stiplede linjen som er 5 cm fra AB, men du vet ikke hvor.

Fra Apollonius’ sirkel vet du derimot at dersom du slår en sirkel som går gjennom A og B, så vil senteret S av sirkelen være sentralvinkelen til enhver periferivinkel som spenner over AB. Dermed kan du bruke det du vet om C = 45 til å finne vinklene ABS og BAS, slik at de kan konstrueres for så å finne sentrum S av sirkelen. Du bruker formelen (1):

ABS = BAS = 90 45 = 45.

Du konstruerer dermed 45 i A og B slik at de vender inn i sirkelen:

Konstruksjon av 45 graders vinkel

Siden BAS og ABS begge er 45 så må S = 90. Dette stemmer over ens med at S skal være sentralvinkelen til C. Dermed kan du tegne sirkelen med sentrum i S og radius SA. Der sirkelen skjærer den stiplede linjen finner du C. Dette skjer to steder, men oppgaven ber deg velge det som er nærmest A. Dermed kan du trekke linjene mellom A, B og C slik at trekanten er ferdig konstruert. Er det ikke vakkert!

Konstruksjon ved bruk av apollonius’ sirkel

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!