Omsirkel, omsenter og midtnormalene

Trekant med omsirkel, omsenter og midtnormal

Teori

Omsirkel, omsenter og midtnormalene

Midtnormalene til sidene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette punktet er sentrum i sirkelen som går gjennom alle de tre hjørnene i trekanten. Denne sirkelen kalles den omskrevne sirkelen eller omsirkelen, og senteret i sirkelen kalles omsenteret. Radien R i den omskrevne sirkelen er gitt ved

a sin A = b sin B = c sin C = 2R

Når du blir bedt om å finne den omskrevne sirkelen til en trekant må du konstruere midtnormalen til to av sidene. Der disse skjærer hverandre har du omsenteret. Du setter passerspissen i omsenteret, og slår en sirkel som går gjennom alle hjørnene i trekanten.

Merk at omsenteret kan ligge utenfor trekanten. Dette skjer når en av vinklene er større enn 90.

NB! I de neste eksemplene, skal du ofte velge ut sider og hjørner i trekantene uten at det står spesifisert hvilke sider eller hjørner det er. Det er fordi det ikke har noe å si hvilken side eller hvilket hjørne du velger. Du vil alltid komme fram til samme resultat.

Eksempel 1

En trekant har sidene AB = 5, AC = 6 og BC = 3. Konstruer trekanten og den tilhørende omsirkelen.

Før du konstruerer omsirkelen, begynner du å konstruere trekanten med de gitte målene. Start med linjen AB = 5. Sett av avstand 3 i passeren og slå en svak sirkel med senter i B. Sett av avstand 6 i passeren og slå en svak sirkel med senter i A. Hjørnet C fremkommer i skjæringen mellom de to sirkelen. Da ender du opp med følgende konstruksjon:

Trekant

Deretter konstruerer du midtnormalen til to av sidene. Der disse midtnormalene skjærer hverandre, er omsenteret, som du kaller O. Så konstruerer du en sirkel med sentrum i dette omsenteret S, som også tangerer alle hjørnene i ABC.

Eksempel på konstruksjon av omsirkel

Du ser at omsenteret O ligger utenfor trekanten, det er fordi ABC er større enn 90.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!